Давление через кинетическую энергию

Давление через кинетическую энергию

Рассмотрим подробнее, что представляет собой один из основных параметров состояния – давление P. Ещё в XVIII веке Даниил Бернулли предположил, что давление газа есть следствие столкновения газовых молекул со стенками сосуда. Именно давление чаще всего является единственным сигналом присутствия газа.

Итак, находящиеся под давлением газ или жидкость действуют с некоторой силой на любую поверхность, ограничивающую их объем. В этом случае сила действует по нормали к ограничивающей объем поверхности. Давление на поверхность равно:

Можно также говорить о давлении внутри газа или жидкости. Его можно измерить, помещая в газ или жидкость небольшой куб с тонкими стенками, наполненный той же средой (рис. 1.1).

Допустим, автомобиль поднимается гидравлическим домкратом, состоящим, как показано на рисунке 1.2, из двух соединенных трубкой цилиндров с поршнями. Диаметр большого цилиндра равен 1 м, а диаметр малого – 10 см. Автомобиль имеет вес F₂. Найдем силу давления на поршень малого цилиндра, необходимую для подъема автомобиля.

Таким образом, для подъема автомобиля достаточно давить на малый поршень с силой, составляющей лишь 1 % веса автомобиля.

Вычислим давление, оказываемое газом на одну из стенок сосуда (рис. 1.3).

Каждая молекула обладает импульсом mυ_x, но стенка получает импульс 2mυ_x(при абсолютно-упругом ударе mυ_x— (-mυ_x)=2mυ_x). За время dt о стенку площадью S успеет удариться число молекул, которое заключено в объёме V:

Давление через кинетическую энергию

Если через Е обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы

Давление идеального газа пропорционально концентрации молекул и средней кинетической энергии их поступательного движения.

уравнение состояния идеального газа (его также называют уравнением Клапейрона-Менделеева):

где n – число молей газа;

P – давление газа (например, в атм;

V – объем газа (в литрах);

T – температура газа (в кельвинах);

R – газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).

Изопроцессы — равновесные процессы, в которых один из основных параметров сохраняется.

ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС- термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении и постоянной массе идеального газа. () Для изобарного процесса в идеальном газе справедлив закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа прямо пропорционален его термодинамической температуре:или . Работа газа при изобарном расширении: . Изменение внутренней энергии:Количество полученного тепла в соответствии с первым началом термодинамики:. Молярная теплоемкость при изобарном процессе:.

ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС ()-термодинамический процесс, который происходит при постоянном объёме. Для осуществления изохорного процесса в газе или жидкости достаточно нагревать (охлаждать) вещество в сосуде, который не изменяет своего объёма. Изохорный процесс в идеальном газе описывается законом Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо пропорционально его термодинамической температуре: или . Работа газа при изохорном процессе равна нулю: . Все полученное тепло идет на изменение внутренней энергии в соответствии с первым началом термодинамики: . Молярная теплоемкость при изохорном процессе:.

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС ()-термодинамический процесс, происходящий в физической системе при постоянной температуре. Изотермический процесс в идеальном газе подчиняется закону Бойля — Мариотта: для данной массы газа при неизменной температуре произведение значений давления и объема есть величина постоянная: или .

Работа газа при изотермическом расширении: . Изменение внутренней энергии при изотермическом процессе равно нулю:. Все полученное тепло идет на совершение работы в соответствии с первым началом термодинамики:.

Основное уравнение МКТ. Статистическое толкование температуры. Барометрическая формула. Распределения Максвелла и Больцмана.

Основное уравнение мкт имеет вид

Определение температуры в статистической физике в статистической физике температура определяется как производная от энергии системы по её энтропии:

,

где S — энтропия, E — энергия термодинамической системы. Введённая таким образом величина T является одинаковой для различных тел при термодинамическом равновесии. При контакте двух тел тело с большим значением T будет отдавать энергию другому.

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёмаускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где — давление газа в слое, расположенном на высоте,— давление на нулевом уровне (),—молярная масса газа, —газовая постоянная, —абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где — масса молекулы газа,—постоянная Больцмана.

Данное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле.

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

здесь n – концентрация молекул на высоте h, n – то же у поверхности Земли. Так как М = mN_A , где m – масса одной молекулы, а R = k N_A, то мы получим П = mgh – это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. Поскольку kT

‹ε_пост›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε_пост›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

§ 57. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов (окончание)

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов. Строгий вывод уравнения молекулярно-кинетической теории газов довольно сложен. Поэтому мы ограничимся упрощённым выводом уравнения.

Предположим, что газ идеальный и взаимодействие молекул со стенкой абсолютно упругое.

Вычислим давление газа, находящегося в сосуде, на боковую стенку площадью S, перпендикулярную координатной оси ОХ (рис. 9.2).

Уравнение молекулярно-кинетической теории — первое количественное соотношение, полученное в МКТ, поэтому оно называется основным. После вывода этого уравнения в XIX в. и экспериментального доказательства его справедливости началось быстрое развитие количественной теории, продолжающееся по сегодняшний день.

При ударе молекулы о стенку её импульс изменяется: Δр_х = m(υ_х — υ_0x). При абсолютно упругом взаимодействии модули скорости молекулы до и после удара равны, и тогда изменение импульса Δр_х = 2mυ_x. Согласно второму закону Ньютона изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на неё силы со стороны стенки сосуда, а согласно третьему закону Ньютона импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку, будет иметь то же значение.

Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен 2m|υ_x|.

Молекул много, и каждая из них передаёт стенке при столкновении такой же импульс. За время t они передадут стенке импульс 2m|υ_x|Z, где Z — число ударов всех молекул о стенку за это время. Число Z, очевидно, прямо пропорционально концентрации молекул, т. е. числу молекул в единице объёма, а также скорости молекул |υ_x|. Чем больше эта скорость, тем больше молекул за время t успеют столкнуться со стенкой. Если бы молекулы «стояли на месте», то столкновений их со стенкой не было бы совсем. Кроме того, число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади S поверхности стенки: Z

n|υ_x|St. Надо ещё учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке. Благодаря хаотичному движению направления движения молекул по и против оси ОХ равновероятны, поэтому вторая половина молекул движется в обратную сторону. Значит, число ударов молекул о стенку за время t и полный импульс силы, подействовавшей на стенку, Ft = 2m|υ_x|Zt. Отсюда F = nmυ 2 _xS.

Учтём, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости υ 2 _x. В действительности средняя сила, действующая на стенку, пропорциональна не υ 2 _x, а среднему значению квадрата скорости Так как согласно формуле (9.5) Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно:

Важно
Уравнение (9.6) и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

Формула (9.6) связывает макроскопическую величину — давление, которое может быть измерено манометром, — с микроскопическими параметрами, характеризующими молекулы: их массой, концентрацией, скоростью хаотичного движения.

Связь давления со средней кинетической энергией молекул. Если через обозначить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы то уравнение (9.6) можно записать в виде

Важно
Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул и средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Ключевые слова для поиска информации по теме параграфа.
Основное уравнение МКТ. Средний квадрат скорости

Вопросы к параграфу

1. Чем пренебрегают, когда реальный газ рассматривают как идеальный?

2. Газ оказывает давление на стенки сосуда. А давит ли один слой газа на другой?

3. Всегда ли равноправны средние значения проекций скорости движения молекул?

4. Чему равно среднее значение проекции скорости молекул на ось ОХ?

5. Почему молекула при соударении со стенкой действует на неё с силой, пропорциональной скорости, а давление пропорционально квадрату скорости молекулы?

6. Почему и как в основном уравнении молекулярно-кинетической теории появляется множитель ?

7. Как средняя кинетическая энергия молекул связана с концентрацией газа и его давлением на стенки сосуда?

Образцы заданий ЕГЭ

А1. Давление 100 кПа создаётся молекулами газа массой m0 = 3 • 10 -26 кг при концентрации n = 10 25 м -3 . Чему равен средний квадрат скорости молекул?

1) 1 (мм/с) 2 2) 100 (м/с) 2 3) 3000 (м/с) 2 4) 1000 000 (м/с) 2

А2. При неизменной концентрации молекул идеального газа в результате охлаждения давление газа уменьшилось в 4 раза. Средний квадрат скорости теплового движения молекул газа при этом

1) уменьшился в 16 раз 3) уменьшился в 4 раза
2) уменьшился в 2 раза 4) не изменился

А3. При неизменной концентрации частиц идеального газа средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул увеличилась в 3 раза. При этом давление газа

1) уменьшилось в 3 раза 3) увеличилось в 9 раз
2) увеличилось в 3 раза 4) не изменилось

А4. Давление газа при нагревании в закрытом сосуде увеличивается. Это можно объяснить увеличением

1) концентрации молекул 3) средней кинетической энергии молекул
2) расстояния между молекулами 4) средней потенциальной энергии молекул

Каждая молекула обладает кинетической энергией , так как находится в тепловом движении.

Средняя кинетическая энергия 〈 E k 〉 поступательного движения одной молекулы идеального газа рассчитывается по следующим формулам:

〈 E k 〉 = 3 2 k T , 〈 E k 〉 = m 0 〈 v кв 〉 2 2 ,

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К; T — термодинамическая температура; m — масса одной молекулы; 〈 v кв 〉 — среднеквадратичная скорость молекулы.

В Международной системе единиц средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы измеряется в джоулях (1 Дж).

Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул идеального газа рассчитывается следующим образом:

〈 E 〉 = N 〈 E k 〉 = 3 2 N k T ,

где N — число молекул газа; 〈 E k 〉 — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; k — постоянная Больцмана, k ≈ 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К; T — термодинамическая (абсолютная) температура газа.

Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа может быть определена по одной из формул:

〈 v кв 〉 = 3 k T m 0 ; 〈 v кв 〉 = 3 R T M ; 〈 v кв 〉 = 3 p ρ ,

где m — масса одной молекулы; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ K); M — молярная масса газа; p — давление газа; ρ — плотность газа.

В Международной системе единиц среднеквадратичная скорость измеряется в метрах в секунду (1 м/с).

Пример 4. На сколько процентов возрастет средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа при увеличении его температуры от 7,0 до 35 °С?

Решение . Искомой величиной является отношение

η = Δ E E 1 ⋅ 100 % ,

где Δ E — абсолютное увеличение средней кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа при указанном повышении температуры, Δ E = E ₂ − E ₁; E ₁ и E ₂ — средние кинетические энергии поступательного движения молекулы идеального газа при температурах T ₁ и T ₂ соответственно.

Преобразуем это отношение следующим образом:

η = E 2 − E 1 E 1 ⋅ 100 % = ( E 2 E 1 − 1 ) ⋅ 100 % .

Для определения средней кинетической энергии молекул необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:

T ₁ = t ₁ + 273 = 7,0 + 273 = 280 K;

T ₂ = t ₂ + 273 = 35 + 273 = 308 K.

Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы газа при указанных температурах запишем в следующем виде:

• для начальной температуры —

• для конечной температуры —

где k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К.

Подстановка полученных выражений в формулу для вычисления η дает:

η = ( E 2 E 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( 3 k T 2 2 ⋅ 2 3 k T 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( T 2 T 1 − 1 ) ⋅ 100 % .

η = ( T 2 T 1 − 1 ) ⋅ 100 % = ( 308 280 − 1 ) ⋅ 100 % = 10 % .

Следовательно, при указанном повышении температуры средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа увеличилась на 10 %.

Пример 5. Кислород и водород одинаковой температуры имеют молярные массы 32 и 2,0 г/моль соответственно. Во сколько раз среднеквадратичная скорость молекул кислорода меньше, чем среднеквадратичная скорость молекул водорода?

Решение . Среднеквадратичная скорость молекул газа определяется его температурой и зависит от молярной массы газа:

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — термодинамическая (абсолютная) температура газа; M — молярная масса газа.

Среднеквадратичные скорости молекул указанных в условии газов определяются выражениями:

〈 v кв 1 〉 = 3 R T M 1 ,

где M ₁ — молярная масса кислорода;

〈 v кв 2 〉 = 3 R T M 2 ,

где M ₂ — молярная масса водорода.

Искомой величиной является отношение

〈 v кв 2 〉 〈 v кв 1 〉 = 3 R T M 2 ⋅ M 1 3 R T = M 1 M 2 .

Расчет дает значение

〈 v кв 2 〉 〈 v кв 1 〉 = 32 ⋅ 10 − 3 2,0 ⋅ 10 − 3 = 16 = 4,0 .

При одинаковой температуре среднеквадратичная скорость молекул водорода в 4 раза превышает среднеквадратичную скорость молекул кислорода.

Пример 6. Аргон молярной массой 40,0 г/моль находится под давлением 20,0 кПа. Концентрация молекул аргона при указанном давлении составляет 3,00 ⋅ 10 25 м −3 . Определить среднеквадратичную скорость молекулы аргона.

Решение . Среднеквадратичная скорость молекул газа может быть вычислена по формуле

где p — давление газа; ρ — плотность газа.

Давление аргона задано в условии задачи. Установим связь между плотностью аргона и его концентрацией.

Концентрация — это число молекул (атомов) в единице объема:

где N — число атомов аргона в объеме V , N = ν N _A; ν — количество вещества (аргона), ν = m / M ; m — масса аргона, m = ρ V ; M — молярная масса аргона.

С учетом выражений для числа молекул аргона, количества вещества и его массы преобразуем формулу для вычисления концентрации к виду

n = ν N A V = m ⋅ N A M ⋅ V = ρ N A M ,

где ρ — плотность аргона.

Выразим отсюда плотность

и подставим в формулу для среднеквадратичной скорости:

〈 v кв 〉 = 3 p N A n M .

〈 v кв 〉 = 3 ⋅ 20,0 ⋅ 10 3 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 3,00 ⋅ 10 25 ⋅ 40,0 ⋅ 10 − 3 = 3,01 ⋅ 10 4 = 173 м/с.

Давление через кинетическую энергию

Идеальный газ — это просто!

Идеальный газ

Идеальный газ — это физическая модель газа, взаимодействие между молекулами которого пренебрежительно мало.
Понятие «идеальный газ» вводится для математического описания поведения газов.
Реальные разреженные газы ведут себя как идеальный газ!

Свойства идеального газа:
— взаимодействие между молекулами пренебрежительно мало
— расстояние между молекулами много больше размеров молекул
— молекулы — это упругие шары
— отталкивание молекул возможно только при соударении
— движение молекул — по законам Ньютона
— давление газа на стенки сосуда — за счет ударов молекул газа

Скорость молекул газа

В теории газов скорость молекул принято определять через среднее значение квадрата скорости молекул.
Хотя скорости различных молекул сильно отличаются друг от друга, но среднее значение квадрата скорости молекул есть величина постоянная.

Формула для расчета среднего значения квадрата скорости молекул газа:

где
n — число молекул в газе
v — модули скоростей отдельных молекул в газе

В теории газов часто используется понятие кинетической энергии молекул.
Используя среднее значение квадрата скорости молекул, получаем формулу для определения средней кинетической энергии молекул:

Основное уравнение МКТ газа

Основное уравнение МКТ связывает микропараметры частиц (массу молекулы, среднюю кинетическую энергию молекул, средний квадрат скорости молекул) с макропараметрами газа (р — давление, V — объем, Т — температура).

Давление газа на стенки сосуда пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Ниже приведены различные выражения для основного уравнения МКТ:

где
р — давление газа на стенки сосуда(Па)
n — концентрация молекул, т.е. число молекул в единице объема ( 1/м 3 )
— масса молекулы (кг)
— средний квадрат скорости молекул (м 2 /с 2 )
ρ — плотность газа (кг/м 3 )
— средняя кинетическая энергия молекул (Дж)

Давление идеального газа на стенки сосуда зависит от концентрации молекул и пропорционально средней кинетической энергии молекул.

Дополнительные расчетные формулы по теме

Формула для расчета концентрации молекул:

где
N — число молекул газа
V — объем газа (м 3 )

Формула для расчета плотности газа:

где
m_o — масса молекулы (кг)
n — концентрация молекул (1/м 3 )

Молекулярная физика. Термодинамика — Класс!ная физика